1、頻率的定義
在這，我們以振動(dòng)的頻率為例來(lái)進(jìn)行說(shuō)明，因此，解釋頻率之前，我們應(yīng)該對(duì)振動(dòng)的基本概念有所了解。振動(dòng)是結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在其平穩(wěn)位置來(lái)回做往復(fù)運(yùn)動(dòng)。從廣義上講，表征物體運(yùn)動(dòng)的物理量作時(shí)而增大時(shí)而減小的反復(fù)變化，就可以稱這種運(yùn)動(dòng)為振動(dòng)。如果變化的物理量是機(jī)械量或力學(xué)量，例如物體的位移、速度、加速度、應(yīng)力及應(yīng)變、噪聲等，這種振動(dòng)便稱為機(jī)械振動(dòng)。最簡(jiǎn)單的機(jī)械振動(dòng)是由彈簧-質(zhì)量組成的單自由度系統(tǒng)，如圖1所示，這類單自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)可以用正弦或余弦函數(shù)或統(tǒng)稱為諧波函數(shù)來(lái)表示，故稱之為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。
圖1 單自由度的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)
在圖1所示的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)中，假設(shè)位移向下為正，當(dāng)拉住質(zhì)量塊到最大位移位置后突然釋放，質(zhì)量塊將從正向最大位移運(yùn)動(dòng)到平衡位置，然后再運(yùn)動(dòng)到負(fù)向最大位移，接著再返回到平衡位置，進(jìn)一步運(yùn)動(dòng)回到最初的正向最大位移位置處，完成一個(gè)往復(fù)運(yùn)動(dòng)循環(huán)。整個(gè)振動(dòng)過(guò)程是重復(fù)這個(gè)往復(fù)循環(huán)的過(guò)程。我們把振動(dòng)發(fā)生完成一個(gè)完整往復(fù)循環(huán)所需要的時(shí)間稱為周期，用符號(hào)T表示，單位為 ；把一秒鐘內(nèi)完成往復(fù)循環(huán)振動(dòng)的次數(shù)稱為頻率，用符號(hào)f表示，以Hz為單位，可記作1/秒(s-1)。1Hz表示一秒鐘振動(dòng)往復(fù)循環(huán)一次。用Hz作為頻率的單位是為了紀(jì)念19世紀(jì)德國(guó)物理學(xué)家Heinrich Rudolf Hertz對(duì)人類文明作出的巨大貢獻(xiàn)，1930年國(guó)際電工委員會(huì)用他的名字命名頻率單位。除了Hz之外，還有kHz，MHz和GHz等作為高頻信號(hào)的單位。
圖2 物理學(xué)家Heinrich Rudolf Hertz
周期T與頻率f是倒數(shù)關(guān)系，即頻率等于1除以周期的商。
振動(dòng)越快，周期越短，頻率越高；振動(dòng)越慢，周期越長(zhǎng)，頻率越低。因此，周期和頻率都是反映振動(dòng)快慢的物理量。但相對(duì)而言，用頻率描述振動(dòng)快慢更普遍、直觀。
2、頻率的分類
我們大多數(shù)情況下所講的機(jī)械振動(dòng)，指的是平動(dòng)所對(duì)應(yīng)的振動(dòng)，也稱為線振動(dòng)。振動(dòng)頻率用f表示，將ω=2πf稱為圓頻率或角頻率，單位為弧度/秒(rad/s)。
除了平動(dòng)的線振動(dòng)之外，還有轉(zhuǎn)動(dòng)的角振動(dòng)。角振動(dòng)通常用角位移、角速度和角加速度來(lái)描述，角振動(dòng)頻率稱為角頻率，用符號(hào)ω表示。它由角振動(dòng)系統(tǒng)的抗扭剛度kφ和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J決定，即
結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在受到外界激勵(lì)產(chǎn)生響應(yīng)時(shí)，將按特定頻率發(fā)生自然振動(dòng)，這個(gè)特定頻率被稱為結(jié)構(gòu)的固有頻率，通常一個(gè)結(jié)構(gòu)有很多階固有頻率。固有頻率由系統(tǒng)本身的質(zhì)量分布與剛度分布決定，與外界激勵(lì)沒(méi)有關(guān)系。固有頻率常用f表示，但也有用圓頻率ω表示，由于二者相差固定系數(shù)，因此，可任意轉(zhuǎn)換。
對(duì)于無(wú)阻尼單自由系統(tǒng)而言，固有頻率計(jì)算公式定義如下：
單位為Hz。當(dāng)用圓頻率來(lái)表示固有頻率時(shí)，公式如下：
單位為rad/s。如果考慮的是無(wú)阻尼系統(tǒng)，那么，獲得的固有頻率為無(wú)阻尼固有頻率。
對(duì)于一般性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)而言，都是有阻尼的，因此它的固有頻率為有阻尼固有頻率。無(wú)阻尼固有頻率與有阻尼固有頻率的關(guān)系如下：
式中ξ為阻尼比，通?，F(xiàn)實(shí)世界中測(cè)試所得到的固有頻率都是有阻尼固有頻率。通常，將結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的第1階固有頻率稱為基頻。結(jié)構(gòu)發(fā)生振動(dòng)時(shí)，通常不會(huì)是按某一個(gè)頻率振動(dòng)，而是有多個(gè)振動(dòng)頻率，在這些振動(dòng)頻率中，能量最大的振動(dòng)頻率稱為主頻。因此，這個(gè)主頻可能是結(jié)構(gòu)的固有頻率，也可能是強(qiáng)迫響應(yīng)頻率(外界的激勵(lì)頻率)。如圖3所示的功率譜密度(PSD)曲線中，存在3個(gè)峰值，假設(shè)都是固有頻率，最低階的固有頻率為基頻，峰值最高的頻率為主頻。由于主頻主要看的是能量大小，所以，主頻不一定是結(jié)構(gòu)的固有頻率，有可能是強(qiáng)迫響應(yīng)頻率。
圖3 某結(jié)構(gòu)響應(yīng)的PSD
當(dāng)外界激勵(lì)頻率與系統(tǒng)的某一階固有頻率相同或者非常接近時(shí)，系統(tǒng)將產(chǎn)生大幅度的振動(dòng)響應(yīng)，這種現(xiàn)象稱之為共振，共振發(fā)生時(shí)的頻率稱為共振頻率。由于結(jié)構(gòu)存在多階固有頻率，因而，結(jié)構(gòu)的共振頻率也有多個(gè)。不管共振是否發(fā)生，結(jié)構(gòu)的固有頻率是不變的，而只有當(dāng)外界的激勵(lì)頻率接近或等于系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，系統(tǒng)才出現(xiàn)共振現(xiàn)象。因而，共振頻率不一定完全與固有頻率相等，共振頻率是按外界的激勵(lì)頻率來(lái)講的，而固有頻率是從結(jié)構(gòu)屬性來(lái)講的。雖然很多情況下，都認(rèn)為共振頻率就是固有頻率。但是，二者還是有明顯的差異。
有些振動(dòng)，如弦振動(dòng)、密閉房間的聲腔模態(tài)或發(fā)動(dòng)機(jī)的燃燒，會(huì)產(chǎn)生多個(gè)相關(guān)的頻率。這些相關(guān)的頻率成分稱為激勵(lì)的主要頻率成分的“諧波”，而激勵(lì)的主要頻率成分稱為“基頻”。諧波是指對(duì)周期性非正弦信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換所得到的大于基頻的各次分量，通常稱為高次諧波。諧波的頻率等于基頻的整數(shù)倍，如基頻3倍的波稱之為三次諧波，基頻5倍的波稱之為五次諧波，以此類推。不管幾次諧波，他們都是正弦波。基頻整數(shù)倍的諧波也稱為諧波分量。諧波分量在頻域的頻率成分稱為諧頻或倍頻，如圖4所示為琴弦基頻833Hz的各個(gè)諧頻成分。在與旋轉(zhuǎn)機(jī)械相關(guān)的瀑布圖或階次域中，諧波被稱之為諧階次，如4缸4沖程發(fā)動(dòng)機(jī)的4，6，8階次為點(diǎn)火階次2階次的諧階次。
圖4 琴弦平均頻譜中的諧波成分
我國(guó)使用的生活用電是一種頻率為50Hz的正弦交流電，交流電的頻率，工業(yè)上稱之為工頻。在全世界的電力系統(tǒng)中，工頻有兩種，一種為50Hz，另一種是60Hz。在信號(hào)采集過(guò)程中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)工頻干擾，從頻域看信號(hào)的頻率成分為50Hz及它的倍頻，如圖5所示。工頻來(lái)源可能是供電的市電、發(fā)電機(jī)、電動(dòng)機(jī)、泵、供電設(shè)備、日光燈、電磁場(chǎng)等。
圖5 工頻及其倍頻
對(duì)于旋轉(zhuǎn)機(jī)械而言，轉(zhuǎn)速(角速度)是一個(gè)非常重要的參數(shù)。轉(zhuǎn)速表示每分鐘旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)，單位為rpm(Revolution Per Minute)，如果用每秒鐘旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)來(lái)表示，則稱為轉(zhuǎn)動(dòng)頻率，簡(jiǎn)稱為轉(zhuǎn)頻，是頻率的一種表現(xiàn)形式。也就是說(shuō)轉(zhuǎn)頻與轉(zhuǎn)速的關(guān)系如下： 轉(zhuǎn)頻=轉(zhuǎn)速/60
3、與階次的區(qū)別與聯(lián)系
對(duì)于常規(guī)的振動(dòng)(線振動(dòng))而言，通常用頻率來(lái)描述一秒鐘內(nèi)振動(dòng)往復(fù)的次數(shù)，這是常說(shuō)的振動(dòng)頻率。如圖6所示，在一秒鐘內(nèi)有兩個(gè)周期，因此，振動(dòng)頻率是2Hz，或者說(shuō)一秒鐘內(nèi)振動(dòng)這個(gè)事件發(fā)生的次數(shù)是2次。用時(shí)間和頻率來(lái)描述常規(guī)的線振動(dòng)。
圖6 振動(dòng)頻率
對(duì)于扭轉(zhuǎn)振動(dòng)(角振動(dòng))而言，通常用階次這個(gè)名詞來(lái)描述，階次表示的是旋轉(zhuǎn)部件每旋轉(zhuǎn)一圈(360度)事件發(fā)生的次數(shù)。與階次相對(duì)應(yīng)的是角度或者旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)，而每旋轉(zhuǎn)一圈對(duì)應(yīng)360度，因此，圈數(shù)與角度是等價(jià)的。扭轉(zhuǎn)振動(dòng)中的階次與圈數(shù)(或角度)對(duì)應(yīng)于常規(guī)振動(dòng)中的頻率與時(shí)間。如圖7所示，橫軸表示圈數(shù)或角度，那么在一圈內(nèi)振動(dòng)的周期是2個(gè)，那么振動(dòng)這個(gè)事件發(fā)生2次，我們說(shuō)階次是2階次。因此，階次的物理意義是表示每圈事件發(fā)生的次數(shù)。
圖7 階次
注意，圖6和圖7橫軸的差異，正是這個(gè)差異表明了二者的差異。階次是表示每圈事件發(fā)生的次數(shù)，而轉(zhuǎn)頻是表示每秒鐘旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)，那么，階次對(duì)應(yīng)的事件的頻率則是階次乘以轉(zhuǎn)頻。因此，1階次對(duì)應(yīng)的事件的頻率是1倍的轉(zhuǎn)頻，k階次對(duì)應(yīng)的事件的頻率是k倍的轉(zhuǎn)頻，或者說(shuō)1階次對(duì)應(yīng)的頻率是1倍轉(zhuǎn)頻，k階次對(duì)應(yīng)的頻率是k倍轉(zhuǎn)頻。不管轉(zhuǎn)速如何變化，這種關(guān)系都是固定不變的，因此，我們說(shuō)階次獨(dú)立于轉(zhuǎn)速。
當(dāng)我們使用不同的轉(zhuǎn)速參考軸時(shí)，同一事件對(duì)應(yīng)的階次是不同的，但事件的頻率不隨轉(zhuǎn)速參考軸的變化而變化的。也就是說(shuō)，參考軸的轉(zhuǎn)頻與階次的乘積是保持不變的，即事件的頻率是不隨轉(zhuǎn)速參考軸的變化而變化。
4、信號(hào)的頻率成分
信號(hào)的頻率成分分布或?qū)捇蛘?，若信?hào)頻率分布很廣(信號(hào)頻率成分是連續(xù)的)，可以認(rèn)為是一個(gè)寬(頻)帶信號(hào)，如白噪聲。對(duì)于錘擊法而言，則是一種寬帶激勵(lì)技術(shù)，這是因?yàn)榱γ}沖對(duì)應(yīng)的力譜是一個(gè)連續(xù)的寬頻信號(hào)，能激起很寬的頻率范圍內(nèi)的模態(tài)，如圖8所示，上圖為力脈沖時(shí)域波形，下圖為力的PSD，從下圖可以看出，力譜是一個(gè)寬頻信號(hào)。通常，在時(shí)域窄的信號(hào)，在頻域有寬的頻率分布。
圖8 力脈沖(上)和力譜(下)
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與寬帶信號(hào)相對(duì)應(yīng)的是窄(頻)帶信號(hào)，假設(shè)信號(hào)的頻率寬度為B，中心頻率為f0，如圖9所示。通常認(rèn)為窄帶信號(hào)滿足以下要求：信號(hào)的頻率寬度B遠(yuǎn)小于中心頻率f0，通常要求B/f0＜0.1。例如，單頻信號(hào)屬于窄帶信號(hào)，以及我們大多數(shù)情況下測(cè)量的信號(hào)只包含若干個(gè)單頻成分，那么這也是窄帶信號(hào)，對(duì)應(yīng)的頻譜稱為窄帶譜(用若干譜線表示)。如使用步進(jìn)正弦進(jìn)行激勵(lì)時(shí)，則這種激勵(lì)技術(shù)是一種窄帶激勵(lì)技術(shù)，因?yàn)槊恳粫r(shí)刻，激勵(lì)信號(hào)只有一個(gè)單頻成分。
圖9 窄帶信號(hào)頻率示意
另外，也可以從頻率成分來(lái)理解寬帶與窄帶，若信號(hào)相鄰頻率成分相差很小，則可認(rèn)為是一個(gè)寬帶信號(hào)，如寬帶隨機(jī)信號(hào)；若相鄰頻率成分相差甚遠(yuǎn)，則屬于窄帶信號(hào)，如正弦信號(hào)。
若信號(hào)只有一個(gè)頻率成分，則稱為單頻信號(hào)，如正弦信號(hào)。單頻信號(hào)是窄帶信號(hào)的一種特殊形式。只包含單一頻率成分的聲音，稱為純音。
通常，我們測(cè)試的信號(hào)的頻率成分不會(huì)簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單地只有一個(gè)單頻成分，更多的是由多個(gè)頻率，或有限數(shù)目相關(guān)的諧波，或無(wú)限數(shù)目不相關(guān)的單頻成分組成。如圖10所示，我們可以把信號(hào)的頻率成分分成以下四種情況：
(a)有限數(shù)目的諧波成分，如在某個(gè)固定轉(zhuǎn)速下變速箱的嘯叫。嘯叫聲為某級(jí)定軸齒輪對(duì)的嚙合頻率以及其倍頻。
(b)有限數(shù)目的非諧波成分，當(dāng)傳動(dòng)裝置存在多個(gè)傳動(dòng)路時(shí)，就會(huì)存在多個(gè)齒輪對(duì)，每個(gè)齒輪對(duì)都可能出現(xiàn)嘯叫聲，并且還有相應(yīng)的倍頻成分。
(c)無(wú)限頻率成分的連續(xù)譜，這種頻率成分類似隨機(jī)噪聲，包括所有的頻率成分，并且無(wú)主要的頻率成分，如路噪就屬于這種情況。
(d)復(fù)雜頻譜：既有若干單頻成分，又有連續(xù)的頻譜，也就是說(shuō)既有隨機(jī)噪聲，又存在一些主要的單頻成分，如車內(nèi)噪聲和飛機(jī)噪聲就屬于這種情況。
圖10 信號(hào)頻率成分的四種典型情況
5、頻率測(cè)量方法
早期，測(cè)量設(shè)備欠發(fā)達(dá)，測(cè)量單頻信號(hào)的頻率成分時(shí)有與標(biāo)準(zhǔn)頻率比較的拍頻法、頻閃法，以及利用穩(wěn)定的李薩如圖判定頻率的示波器法和頻率計(jì)等測(cè)量方法。這些方法測(cè)量測(cè)量頻率單一，精度差，在今天，都已不常用。現(xiàn)今，普遍采用數(shù)據(jù)采集設(shè)備對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行采樣，獲得數(shù)字信號(hào)后，再利用快速傅立葉變換(FFT)確定信號(hào)的頻率成分，該方法可以確定信號(hào)復(fù)雜的頻率成分，且利用計(jì)算機(jī)處理，可邊測(cè)邊顯示頻率成分，高效便捷、顯示方便。
獲得數(shù)字化信號(hào)最普遍的形式是使用等時(shí)間采樣。也就是數(shù)據(jù)是按恒定的采樣率進(jìn)行采樣。在滿足香農(nóng)采樣定理前提條件下，采樣后的信號(hào)將不存在頻率混疊，采樣后的信號(hào)是有效的數(shù)字化信號(hào)x(t)。如果我們對(duì)這個(gè)信號(hào)x(t)進(jìn)行快速傅立葉分析，那么，將得到這個(gè)信號(hào)在不同頻率處的頻率分量，如圖11所示。使用數(shù)據(jù)采集設(shè)備進(jìn)行采樣獲得時(shí)域數(shù)字信號(hào)，是圖中從時(shí)域觀測(cè)到的時(shí)域信號(hào)，對(duì)這個(gè)采集到的時(shí)域信號(hào)進(jìn)行FFT變換，相當(dāng)是對(duì)這個(gè)時(shí)域信號(hào)進(jìn)行分解，分解成一系列不同幅值和頻率的正弦波或余弦波，圖中的時(shí)域信號(hào)是4個(gè)正弦波的組合，每個(gè)正弦波或余弦波使用一條譜線就可以描述，因此，當(dāng)從頻域觀測(cè)時(shí)，可以看到，圖示的信號(hào)有4條幅值不同的線狀譜，對(duì)應(yīng)圖中間的4個(gè)正弦波的頻率成分和幅值。因此，F(xiàn)FT變換是將信號(hào)從時(shí)域變換到頻域，告訴我們信號(hào)具有哪些頻率成分。某次實(shí)際測(cè)量的振動(dòng)信號(hào)的頻譜如圖12所示。
圖11 FFT變換過(guò)程示意
圖12 某振動(dòng)信號(hào)的頻譜
這個(gè)變換過(guò)程完全是可逆的。也就是說(shuō)，如果我們有信號(hào) x(t) ，我們能通過(guò)FFT變換得到X(f)。類似地，如果我們有信號(hào)X(f)，也可以通過(guò)IFT(傅立葉逆變換)變換能得到x(t)。有時(shí)，這個(gè)過(guò)程可以寫成如下形式x(t)?X(f)。
以上變換過(guò)程，從理論上講是可能的，但從現(xiàn)實(shí)角度來(lái)講，F(xiàn)FT變換過(guò)程存在泄漏，而IFT變換過(guò)程存在逆泄漏，因此，變換后總會(huì)丟失一些信息，使之與變換前存在明顯差異。
